Question

【题目】如图，已知是的直径，是的弦，弦于点，交于点，过点的直线与的延长线交于点，．

求证：是的切线；

当点在劣弧上运动时，其他条件不变，若．求证：点是的中点；

在满足的条件下，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）连OC，由ED⊥AB得到∠FBG+∠FGB=90°，又PC=PD，则∠1=∠2，而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，即可得到∠1+∠4=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连OG，由BG2=BFBO，即BG：BO=BF：BG，根据三角形相似的判定定理得到△BGO∽△BFG，由其性质得到∠OGB=∠BFG=90°，然后根据垂径定理即可得到点G是BC的中点；

（3）连OE，由ED⊥AB，根据垂径定理得到FE=FD，而AB=10，ED=4，得到EF=2，OE=5，在Rt△OEF中利用勾股定理可计算出OF，从而得到BF，然后根据BG2=BFBO即可求出BG．

证明：连，如图，

∵，

∴，

又∵，

∴，

而，，

∴，即，

∴是的切线；

证明：连，如图，

∵，即，

而，

∴，

∴，

即，

∴，即点是的中点；解：连，如图，

∵，

∴，

而，，

∴，，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴．