题目内容
（2012•闵行区三模）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC=MN．设AM=x．
（1）如果CD=3，AM=CM，求AM 的长；
（2）如果CD=3，点N在边BC上．设CN=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果∠ACB=90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．
（1）如果CD=3，AM=CM，求AM 的长；
（2）如果CD=3，点N在边BC上．设CN=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果∠ACB=90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．
分析：（1）由等腰三角形的性质可知AD=
AB=4，根据勾股定理可求出AC=5，再通过证明△ACM∽△ABC，由相似三角形的性质可得
=
，进而求出AM的长；
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．由 AM=x，得 BM=8-x，又因为∠A=∠B，所以△MBF∽△ACD，由相似三角形的性质可知：
=
，进而求出y与x的函数解析式，并写出函数的定义域即可；
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4是定值，此题要分（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上；（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上两种情况讨论分别求出ME=4．
| 1 |
| 2 |
| AM |
| AC |
| AC |
| AB |
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．由 AM=x，得 BM=8-x，又因为∠A=∠B，所以△MBF∽△ACD，由相似三角形的性质可知：
| BF |
| 4 |
| 8-x |
| 5 |
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4是定值，此题要分（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上；（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上两种情况讨论分别求出ME=4．
解答：解：（1）∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=
AB=4．
由勾股定理，得 AC=
=
=5．
∵AM=CM，
∴∠A=∠ACM．
即得∠ACM=∠B．
∴△ACM∽△ABC．
∴
=
．
∴
=
．即得 AM=
．
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．
由 AM=x，得 BM=8-x．
∵MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB=∠ADC=90°．
又∵∠A=∠B，
∴△MBF∽△ACD．
∴
=
．即得
=
．
∴BF=
(8-x)．
∴CF=BC-BF=5-
(8-x)=
x-
．
∵MC=MN，MF⊥BC，
∴CN=2CF=
x-
．
即得 y=
x-
．
定义域为
＜x＜
；
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．
由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
又∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4．
即得∠BCD=45°．
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
又∵CD⊥AB，NE⊥AB，
∴∠CDM=∠MEN=90°．
∴△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
于是，由∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，
∠BCD=∠MCD+∠MCN=45°，
∠MCN=∠MNC，
得∠MCD=∠BMN．
再由 MC=MN，∠CDM=∠MEN=90°，
得△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
∴由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=
| 1 |
| 2 |
由勾股定理，得 AC=
| AD2+CD2 |
| 42+33 |
∵AM=CM，
∴∠A=∠ACM．
即得∠ACM=∠B．
∴△ACM∽△ABC．
∴
| AM |
| AC |
| AC |
| AB |
∴
| AM |
| 5 |
| 5 |
| 8 |
| 25 |
| 8 |
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．
由 AM=x，得 BM=8-x．
∵MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB=∠ADC=90°．
又∵∠A=∠B，
∴△MBF∽△ACD．
∴
| BF |
| AD |
| MB |
| AC |
| BF |
| 4 |
| 8-x |
| 5 |
∴BF=
| 4 |
| 5 |
∴CF=BC-BF=5-
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 7 |
| 5 |
∵MC=MN，MF⊥BC，
∴CN=2CF=
| 8 |
| 5 |
| 14 |
| 5 |
即得 y=
| 8 |
| 5 |
| 14 |
| 5 |
定义域为
| 7 |
| 4 |
| 39 |
| 8 |
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．
由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
又∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4．
即得∠BCD=45°．
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
又∵CD⊥AB，NE⊥AB，
∴∠CDM=∠MEN=90°．
∴△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
于是，由∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，
∠BCD=∠MCD+∠MCN=45°，
∠MCN=∠MNC，
得∠MCD=∠BMN．
再由 MC=MN，∠CDM=∠MEN=90°，
得△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
∴由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME=4．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性强、难度大一道不错的中考压轴题．
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