Question

如图，已知点B（1，3）、C（1，0），直线y=x+k是经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（

-2

，

0

），D点坐标为（

-2

，

3

）；
（2）若抛物线y=

1

3

x2+bx+c经过C、D两点，求抛物线的解析式，
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点．在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴？若存在，此时抛物线向上平移了几个单位长度？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点B的坐标代入直线解析式求出k值，再令y=0求解得到点A的坐标，求出AC=BC，然后根据翻折得到四边形ACBD是正方形，然后写出点D的坐标即可；
（2）把点C、D的坐标代入抛物线，利用待定系数法求出b、c的值，即可得解；
（3）设抛物线向上平移h个单位长度能使EM∥x轴，根据平移变换写出平移后抛物线解析式，再求出点E的坐标，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等利用直线AB的解析式求出点M的坐标，代入平移后的抛物线解方程求出h的值，然后求出点E、M的坐标，从而得解．

解答：解：（1）∵直线y=x+k经过点B（1，3），
∴1+k=3，
解得k=2，
∴直线AB的解析式为y=x+2，
令y=0，则x+2=0，
解得x=-2，
∴点A（-2，0），
∴AC=BC=3，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，
∴四边形ACBD是正方形，
∴D（-2，3）；
故答案为：-2，0；-2，3；

（2）∵抛物线y=

1

3

x²+bx+c经过点C（1，0），D（-2，3），
∴

1 3 +b+c=0 4 3 -2b+c=3

，
解得

b=- 2 3 c= 1 3

，
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

2

3

x+

1

3

；

（3）存在．
设抛物线向上平移h个单位长度能使EM∥x轴，
则平移后的抛物线解析式为y=

1

3

x²-

2

3

x+

1

3

+h=

1

3

（x-1）²+h，
∵平移后所得抛物线与y轴交点为E，
∴点E（0，

1

3

+h），
∵EM∥x，点M在直线AB上，
∴点M的纵坐标为

1

3

+h，
∴x+2=

1

3

+h，
解得x=h-

5

3

，
∴点M的坐标为（h-

5

3

，

1

3

+h），
又∵点M在平移后的抛物线上，
∴

1

3

（h-

5

3

-1）²+h=

1

3

+h，
解得h₁=

5

3

，h₂=

11

3

，
①当h=

5

3

时，点E、M的坐标都是（0，2），点E、M重合，不合题意舍去，
②当h=

11

3

时，点E的坐标为（0，4），M（2，4），符合题意，
综上所述，抛物线向上平移

11

3

个单位长度能使EM∥x轴．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换的性质，待定系数法求二次函数解析式，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，难点在于（3）根据点M在直线AB上和平移后的抛物线列方程求解．