Question

 如图(1)，在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB＝90°，OA＝6，AB＝5，cos∠OAB＝．

    (1)写出顶点A、B、C的坐标；

    (2)如图(2)，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM＝x，四边形OMPN的面积为y．

    ①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

 (1)因为AB＝OC＝ 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）．

(2) ① 如图2，过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H，则HQ＝y，HP＝x– t ．

因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．

如图3，当P与C重合时，，解方程，得．

如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝± 2．

因此自变量x的取值范围是，且x¹± 2的所有实数．

           

图2                       图3                     图4

②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．

当时，．解方程，得（如图5）．此时．

当时，．解方程，得．

如图6，当时，；如图6，当时，．

        

图5                    图6                            图7