Question

在平面直角坐标系中，以点A（-3，0）为圆心、5为半径的圆与轴相交于点B、C（点B在点C的左边），与轴相交于点D、M(点D在点M的下方)。

（1）求以直线为对称轴，且经过点D、C的抛物线的解析式；　
（2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC+PD的取值范围；　
（3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）设以为对称轴的抛物线的解析式为          ，     由已知得点C、D的坐标分别为C（2，0）、D（0，-4），     分别代入解析式，得 ，     解得：，     ∴经过点D、C的抛物线的解析式为。
（2）如图1，       ∵点C（2，0）关于直线的对称点为点B（-8，0），       ∴要求PC+PD的最小值，即求线段BD的长，       在Rt△BOD中，由勾股定理得，       ∴PC+PD的最小值是，       ∵点P是对称轴上的动点，　　   　 ∴PC+PD无最大值，   　 ∴PC+PD的取值范围是
（3）存在，   ①(图2)当BC为平行四边形的一边时，若点F在抛物线上，且使四边形 BCFE或四边形BCEF为平行四边形，则有BC∥EF且BC=EF，    设点E（-3，t），过点E作直线EF∥BC与抛物线交于点F（m，t），    由BC=EF，得EF=10，    ∴F1（7，t），F2（-13，t），  又当m=7时，，   ∴F1（7，）F2（-13，）。   ②(图3)当BC为所求平行四边形的对角线时，　　　   由平行四边形性质可知，点F即为抛物线的顶点（-3，），   ∴存在三个符合条件的F点，分别为F1（7，），F2（-13，）， F3（-3，）。