Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，

∴

∴ ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ （x﹣2）2+ ；

（2）

解：如图1，

过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，

由（1）有，C（0，﹣2），

∵B（0，3），

∴直线BC解析式为y= x﹣2，

∵H（1，y）在直线BC上，

∴y=﹣ ，

∴H（1，﹣ ），

∵B（3，0），E（0，﹣1），

∴直线BE解析式为y=﹣ x﹣1，

∴G（1，﹣ ），

∴GH= ，

∵直线BE：y=﹣ x﹣1与抛物线y=﹣ x2+ x﹣2相较于F，B，

∴F（ ，﹣ ），

∴S△FHB= GH×|xG﹣xF|+ GH×|xB﹣xG|

= GH×|xB﹣xF|

= × ×（3﹣ ）

= ．

（3）

解：如图2，

由（1）有y=﹣ x2+ x﹣2，

∵D为抛物线的顶点，

∴D（2， ），

∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，

∴设M（2，m），（m＞ ），

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=AB2，

∴m2+4+m2+1=9，

∴m= 或m=﹣ （舍），

∴M（0， ），

∴MD= ﹣ ，

∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，

∴t= ﹣ ；

（4）

解：存在点P，使∠PBF被BA平分，

如图3，

∴∠PBO=∠EBO，

∵E（0，﹣1），

∴在y轴上取一点N（0，1），

∵B（3，0），

∴直线BN的解析式为y=﹣ x+1①，

∵点P在抛物线y=﹣ x2+ x﹣2②上，

联立①②得， 或 （舍），

∴P（ ， ），

即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（ ， ）．

【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，两点间的距离公式，角平分线的意义，解本题的关键是确定函数解析式．（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出GH，点F的坐标，用三角形的面积公式计算即可；（3）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；（4）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两点间的距离的相关知识，掌握同轴两点求距离，大减小数就为之．与轴等距两个点，间距求法亦如此．平面任意两个点，横纵标差先求值．差方相加开平方，距离公式要牢记，以及对角的平分线的理解，了解从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．