Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（3，-3），与x轴的一个交点为B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P₀的坐标．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P₀、B、C为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将其解析式设为顶点坐标式，然后将B点坐标代入其中，即可求得该抛物线的解析式．
（2）取B点关于y轴的对称点B′，其坐标易得，那么直线AB′与y轴的交点即为所求的P₀点，可先求出直线AB′的解析式，进而可求出P₀的坐标．
（3）根据抛物线的解析式，易求得C点坐标，进而可由△B′AC、△B′P₀B的面积差求出四边形AP₀BC的面积，进而可得到△BCM的面积，BC的长已求得，根据其面积可求出M点的纵坐标绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出M点的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-3）²-3，依题意有：
a（1-3）²-3=0，a=

3

4

，
∴该抛物线的解析式为：y=

3

4

（x-3）²-3=

3

4

x²-

9

2

x+

15

4

．

（2）设B点关于y轴的对称点为B′，则B′（-1，0）；
设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有：

3k+b=-3 -k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=- 3 4

；
∴y=-

3

4

x-

3

4

；
故P₀（0，-

3

4

）．

（3）由（1）的抛物线知：
y=

3

4

x²-

9

2

x+

15

4

=

3

4

（x-1）（x-5），
故C（5，0）；
∵S_{四边形AP0BC}=S_△AB′C-S_△BB′P0
=

1

2

×6×3-

1

2

×2×

3

4

=

33

4

；
∴S_△BCM=

1

3

S_{四边形AP0BC}=

11

4

；
易知BC=4，则|y_M|=

11

8

；
当M的纵坐标为

11

8

时，

3

4

x²-

9

2

x+

15

4

=

11

8

，
解得x=3+

210

6

，x=3-

210

6

；
当M的纵坐标为-

11

8

时，

3

4

x²-

9

2

x+

15

4

=-

11

8

，
解得x=3+

78

6

，x=3-

78

6

；
故符合条件的M点有四个，它们的坐标分别是：
M₁（3+

210

6

，

11

8

），M₂（3-

210

6

，

11

8

），M₃（3+

78

6

，-

11

8

），M₄（3-

78

6

，-

11

8

）．

点评：此题考查的知识点有：二次函数解析式的确定、平面展开-最短路径问题、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法等，综合性强，难度中上．