题目内容
如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，联结AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）如图2，联结CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；
（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．
【答案】分析：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得y关于x的函数解析式；
（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况：①当∠QCD=∠B时；②当∠QCD=∠QAB时；根据相似三角形的性质可求x的值；
（3）设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的长．
解答：
解：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．
由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，
∴
；
易得△CMD∽△CAB，
∴
；
设CM=3a，DM=4a，
∴AM=4a，
∴a=
，
，
∴
，
∴
．
定义域是：
≤x≤4．
（注：其它解法参照评分．）
（2）∵∠CDQ=∠ADB，
∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：
①当∠QCD=∠B时，
∴CQ∥AB，
四边形CAPQ是正方形；
∴x=AP=AC=3．
②当∠QCD=∠QAB时，
∴
，
由上述（1）的解法，可得
，
，
∴
，
∴
；
∴
，
解得
．
综合①②，当△CDQ和△ADB相似时，x的值为3或
．
（3）如图，设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N．
∴BC⊥QM，QN=MN．
∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，
∴
，
设MN=3t，BN=4t，
∴BM=5t；
∴QM=6t，
∴
；
∵BQ=BM=5t，
∴
；
又∵
，
∴
，
解得
；
∴
．
点评：此题主要考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，分类思想的运用，正方形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况：①当∠QCD=∠B时；②当∠QCD=∠QAB时；根据相似三角形的性质可求x的值；
（3）设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的长．
解答：
解：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，
∴
；易得△CMD∽△CAB，
∴
；设CM=3a，DM=4a，
∴AM=4a，
∴a=
，，∴
，∴
．定义域是：
≤x≤4．（注：其它解法参照评分．）
（2）∵∠CDQ=∠ADB，
∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：
①当∠QCD=∠B时，
∴CQ∥AB，
四边形CAPQ是正方形；
∴x=AP=AC=3．
②当∠QCD=∠QAB时，
∴
，由上述（1）的解法，可得
，，∴
，∴
；∴
，解得
．综合①②，当△CDQ和△ADB相似时，x的值为3或
．（3）如图，设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N．∴BC⊥QM，QN=MN．
∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，
∴
，设MN=3t，BN=4t，
∴BM=5t；
∴QM=6t，
∴
；∵BQ=BM=5t，
∴
； 又∵
，∴
，解得
； ∴
．点评：此题主要考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，分类思想的运用，正方形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
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