题目内容

直线l经过A（1，0）且与双曲线y= $数学公式$ 在第一象限交于点B（2，1），过点P（p+1，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交于双曲线y= $数学公式$ 和y= $数学公式$ （x＜0）于M，N两点，
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）直线y=-x-3与x轴、y轴分别交于点C、D，点E在直线y=-x-3上，且点E在第三象限，使得 $数学公式$ ，平移线段ED得线段HQ（点E与H对应，点D与Q对应），使得H、Q恰好都落在y= $数学公式$ 的图象上，求H、Q两点坐标．
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，求所有满足条件的p的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）由点B（2，1）在y= $\text{[math]}$ 上，有1= $\text{[math]}$ ，即m=2．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由点A（1，0），点B（2，1）在y=kx+b上，
得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故所求直线l的解析式为y=x-1；

（2）∵直线y=-x-3与x轴、y轴分别交于点C、D，点E在直线y=-x-3上，且点E在第三象限，使得 $\text{[math]}$ ，
∴D点的横坐标比E点的横坐标大1，D点的纵坐标比E点的纵坐标小1；
∴H点的横坐标比Q点的横坐标大1，H点的纵坐标比Q点的纵坐标小1，
设H点的坐标为（u，v），Q点的坐标（u+1，v-1），则
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不合题意舍去），
则H点的坐标为（1，2），Q点的坐标（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵P点坐标为（p+1，p-1），MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
∴M（ $\text{[math]}$ ，p-1），N（- $\text{[math]}$ ，p-1），可得MN= $\text{[math]}$ ，
∴S_△AMN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（p-1）=2，
当p＞1时，S_△APM= $\text{[math]}$ （p+1- $\text{[math]}$ ）（p-1）= $\text{[math]}$ （p²-3），
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4× $\text{[math]}$ （p²-3）=2，
解得p₁=-2（不合题意，舍去），p₂=2．
∴满足条件的p的值为2．
分析：（1）将点B（2，1）代入y= $\text{[math]}$ ，即可求出m的值，从而得到反比例函数的解析式；将点A（1，0），点B（2，1）分别代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）根据题意可得D点的横坐标比E点的横坐标大1，D点的纵坐标比E点的纵坐标小1；根据平移的性质可得H点的横坐标比Q点的横坐标大1，H点的纵坐标比Q点的纵坐标小1，可设H点的坐标为（u，v），表示出Q点的坐标，根据H、Q恰好都落在y= $\text{[math]}$ 的图象上，可得方程组求解即可；
（3）由于P点坐标为（p+1，p-1），则点M、N的纵坐标都为p-1，得到M（ $\text{[math]}$ ，p-1），N（- $\text{[math]}$ ，p-1），可得MN= $\text{[math]}$ ，计算出S_△AMN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（p-1）=2，当p＞1时，S_△APM= $\text{[math]}$ （p+1- $\text{[math]}$ ）（p-1）= $\text{[math]}$ （p²-3），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4× $\text{[math]}$ （p²-3）=2，然后解方程得到p₁=- $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），p₂= $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了反比例函数综合题，学会待定系数法求函数解析式，平移的性质，解方程组以及会计算三角形的面积的知识．注意点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式．