Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，4），已知点B（2，0），连接BC．点P是y轴上一动点，连接PA、PB，动点P从点C出发，沿射线CO方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t（秒）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）点P在运动的过程中，当S_△ABP=S_△CPB时，求t的值．
（3）点P在运动的过程中，△ABP与△CPB均为轴对称图形时，这样的t值有______个．

Answer 1

解：（1）将点C（0，4），点B（2，0）代入可得，，
解得：，
故可得二次函数解析式为：y=-x²+4．
（2）①当点P在线段OC上时，
S_△ABP=AB•OP=4×（4-t）=8-2t，S_△CPB=CP×BO=t，
∵S_△ABP=S_△CPB，
∴8-2t=t，
解得：t=；
②当点P在x轴下方时，S_△ABP=AB•OP=4×（t-4）=2t-8，S_△CPB=CP×BO=t，
∵S_△ABP=S_△CPB，
∴2t-8=t，
解得：t=8，
综上可得当t=或8时，S_△ABP=S_△CPB．
（3）当△CBP是等腰三角形时，可满足题意，
①BC=BP，②CP=CB，③PC=PB，

如图所示，满足题意得点P的坐标有三个．
分析：（1）将点C及点B的坐标代入即可得出a与c的值，继而可得出抛物线对应的函数关系式；
（2）分两种情况讨论，①点P在x轴上方，②点P在x轴下方，分别表示出△ABP及△CPB的面积，然后根据S_△ABP=S_△CPB，可得出关于t的方程，解出即可．
（3）△APB是轴对称图形，只需满足△CPB是轴对称图形即可，也就是只要△CPB是等腰三角形即可满足条件，分情况讨论，①BC=BP，②CP=CB，③PC=PB，分别作出图形即可得出答案．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质及轴对称的知识，解答本题的关键是掌握动点的移动速度与线段长度的关系．