Question

如图已知二次函数图象的顶点坐标为，直线的图象与该二次函数的图象交于两点，其中点坐标为，点在轴上，直线与轴的交点为．为线段上的一个动点（点与不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点．
（1）求的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为
在抛物线上，
        
二次函数解析式为：
（或）
令得：
即点在上

把代入得
（2）


（3）假设存在点，①当时，由题意可得，

则
，，舍去
而，存在点，其坐标为．
②当时，
过点作垂直于抛物线的对称轴，垂足为；
由题意可得：
       
则       
，（舍去）
而，存在点，其坐标为．
综上所述存在点满足条件，其坐标为
，

（1）根据二次函数的顶点坐标，可设抛物线解析式为（顶点式），把点代入解析式即可求出，根据求出点，由点和点求出直线即可
（2）由于，则线段的长等于一次函数减去二次函数值，点在线段上，故
（3）以点为顶点的三角形与相似，由于字母没有对应，则需分情况讨论：
①，利用相似三角形对应边成比例，得到，注意的取值范围，得到点 ②，同理可得，注意的取值范围，得到点