Question

（2013•余姚市模拟）函数y=

k

x

和y=-

k

x

（k≠0）的图象关于y轴对称，我们把函数y=

k

x

和y=-

k

x

（k≠0）叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数y=f（x）和y=h（x）的图象关于y轴对称，那么我们就把函数y=f（x）和y=h（x）叫做互为“镜子”函数．
（1）请写出函数y=3x-4的“镜子”函数：

y=-3x-4

；
（2）函数

y=x²+2x+3

的“镜子”函数是y=x²-2x+3；
（3）如图，一条直线与一对“镜子”函数y=

2

x

（x＞0）和y=-

2

x

（x＜0）的图象分别交于点A、B、C，如果CB：AB=1：2，点C在函数y=-

2

x

（x＜0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是

1

2

，求点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数．则两个解析式的k值应互为相反数，得出答案即可；
（2）函数y=x²-2x+3的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y=（-x）²-2（-x）+3=x²+2x+3，即可．
（3）首先作CC'、BB'、AA'垂直于x轴，再利用设点B(m，

2

m

)、A(n，

2

n

)，得出A'B'=n-m，B′C′=m+

1

2

，即可得出等式方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数得出：
函数y=3x-4的“镜子”函数：y=-3x-4；
故答案为：y=-3x-4；

（2）y=x²-2x+3的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变．得
y=（-x）²-2（-x）+3=x²+2x+3．
故答案为：y=x²+2x+3；

（3）过点C作CC'垂直于x轴，垂足为C'，过点B作BB'垂直于x轴，垂足为B'，过点A作AA'垂直于x轴，垂足为A'．
设点B(m，

2

m

)、A(n，

2

n

)，其中m＞0，n＞0． 
由题意，得 点C(-

1

2

，4)．
∴CC'=4，BB′=

2

m

，AA′=

2

n

，
A'B'=n-m，B′C′=m+

1

2

．
易知 CC'∥BB'∥AA'，
又CB：AB=1：2，
所以，可得 

n-m=2(m+ 1 2 ) 2 m - 2 n = 2 3 (4- 2 n )

，
化简，得

n-3m=1 1 m - 1 3n = 4 3

，
解得 m=

1± 10

6

（负值舍去），
∴

2

m

=

4 10 -4

3

，
∴B(

1+ 10

6

，

4 10 -4

3

)．

点评：本题考查了反比例函数的综合、一次函数、二次函数图象与几何变换的知识，根据已知利用平行线分线段成比例定理得出等式方程是解题关键．