Question

如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E
（1）求证：PD=PE；
（2）DE与BC平行吗？请说明理由；
（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠PDB=∠PEC=90°，
∵P是BC的中点，
∴BP=PC，
即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC，
∴△PDB≌△PEC，
∴PD=PE．

（2）答：DE∥BC，
理由是：∵△PDB≌△PEC，
∴BD=CE，
∵AB=AC，
∴=，
∴DE∥BC．

（3）答：当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，
证明：∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°，
∴四边形ADPE是矩形，
∵AB=AC，BD=CE，
∴AD=AE，
∴矩形ADPE是正方形，
即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形．
分析：（1）根据AAS证△PDB≌△PEC即可；
（2）根据全等证出BD=CE，得到=，即可推出答案；
（3）证四边形是矩形，证AD=AE即可推出答案．
点评：本题主要考查对矩形的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定，正方形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．