题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，∠D=90°，AB=10cm，BC=6cm，AB∥CD，AC⊥BC，F点以2cm/s的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/s的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动的时间为t（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）当t为何值时，△FEB与△ABC相似？
分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．
（3）本题分两种种情况：①若△FBE∽△ABC；②若△FBE∽△CBA分别根据相似三角形的性质：对应边的比值性质求出对应的时间t即可．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．
（3）本题分两种种情况：①若△FBE∽△ABC；②若△FBE∽△CBA分别根据相似三角形的性质：对应边的比值性质求出对应的时间t即可．
解答：（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA
又∵AC⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）解：由（1）知：△ACD∽△BAC；
∴
=
，
Rt△ACB中，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∴DC=
=6.4cm；
（3）解：本题分两种种情况：
①若△FBE∽△ABC，则
=
即
=
，
解得t=
s；
则
=
即
=
，
解得t=
s；
综上所述，当t=
s或t=
s时，△FEB与△ABC相似．
∴∠BAC=∠DCA
又∵AC⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）解：由（1）知：△ACD∽△BAC；
∴
| DC |
| AC |
| AC |
| AB |
Rt△ACB中，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∴DC=
| AC2 |
| AB |
（3）解：本题分两种种情况：
①若△FBE∽△ABC，则
| FB |
| AB |
| BE |
| BC |
| 10-2t |
| 10 |
| t |
| 6 |
解得t=
| 30 |
| 11 |
则
| BF |
| BC |
| BE |
| AB |
| 10-2t |
| 6 |
| t |
| 10 |
解得t=
| 50 |
| 13 |
综上所述，当t=
| 30 |
| 11 |
| 50 |
| 13 |
点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，其中第三题是难点，用到了分类讨论的数学思想．
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