Question

如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AM=MC，
（1）求证：AE=CF；     
（2）求证：AF∥CE； 
（3）若AF=4cm，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）由于AB∥CD，那么∠BAC=∠DCA，而∠BAE=∠DCF，利用等式性质可得∠EAM=∠FCM，再结合一组对顶角和一组对应边相等，利用AAS可证△EAM≌△FCM，从而有AE=CF；
（2）由（1）中∠BAE=∠DCF，可证AE∥CF，而AE=CF，那么可证四边形AECF是平行四边形，那么AF∥CE；
（3）根据平行四边形的性质易得CE=4．

解答：证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴∠BAC-∠BAE=∠DCA-∠DCF，
即∠EAM=∠FCM，
在△EAM和△FCM中，

∠EAM=∠FCM ∠AME=∠FMC AM=CM

，
∴△EAM≌△FCM，
∴AE=CF；

（2）∵∠EAM=∠FCM，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；

（3）∵四边形AECF是平行四边形，
∴CE=AF=4cm．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题的关键是证明△EAM≌△FCM，以及平行四边形判定的掌握．