Question

△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点E是BC延长线上的一点，且ED⊥AB，垂足为D，ED与AC交于点H．取AB中点O，连结OH．
（1）若ED=，OD=，求HD的长；
（2）若ED=AB，求HD+OH的值．

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，ED⊥AB，垂足为D，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴∠A=∠E=90°-∠B．
在△AHD与△EBD中，
，
∴△AHD∽△EBD（AA），
∴=，
∴=，
∴HD=；

（2）设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x．
由（1）知△AHD∽△EBD，
∴=，
∴=，
∴HD=．
在Rt△HOD中，∵∠ODH=90°，
∴OH===，
∴HD+OH=+=1．
分析：（1）先由同角的余角相等得出∠A=∠E=90°-∠B，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AHD∽△EBD，根据相似三角形对应边成比例得到=，将数据代入，计算即可求出HD的长；
（2）设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x，由△AHD∽△EBD，列出比例式，得到HD=，然后在Rt△HOD中，运用勾股定理，求出OH==，进而得到HD+OH=+=1．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度适中．根据两角对应相等的两三角形相似证明△AHD∽△EBD是解题的关键．