Question

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒

1.在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；

2.若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．

①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 

1.若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t. 则 ＝＝，

又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴  ＝＝.∴ ＝，

又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC.………………4分  

当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考虑一种情况即可）  ∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.

2.①  如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，

QM＝20－4t.

由AQ＋QM＝AM  得2t＋20－4t＝

解得t＝，∴ 当t＝时，点P、M、N在一直线上. …………………………8分 

② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.

设l交AC于H.

如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.

∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2×  解得t＝2，  …………………10分

 

 

如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝ .故 当t＝2或 时，存在以PN为一直角边的直角三角形. …………………12分

解析:略