Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，DC=2

2

，点P在边BC上运动（与B、C不重合），设PC=x．若以D为圆心、

1

2

为半径作⊙D，以P为圆心、x为半径作⊙P，则当x=

31

20

或

31

12

时，⊙D与⊙P相切．

Answer 1

分析：分两种情况考虑，当圆P与圆D外切时，如图所示，过D作DE垂直于BC，可得出四边形ABED为矩形，根据矩形的对边相等可得出AB=DE=2，在直角三角形DEC中，由DC及ED的长，利用勾股定理求出EC的长，再由EC-PC表示出EP，又圆D与圆P外切，圆心距等于两半径相加，由两圆的半径相加表示出DP，在直角三角形DEP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值；当圆P与圆D内切时，如图所示，过D作DE垂直于BC，可得出四边形ABED为矩形，根据矩形的对边相等可得出AB=DE=2，在直角三角形DEC中，由DC及ED的长，利用勾股定理求出EC的长，再由EC-PC表示出EP，又圆D与圆P外切，圆心距等于两半径相减，由两圆的半径相减表示出DP，在直角三角形DEP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．

解答：解：当圆P与圆D外切时，如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根据勾股定理得：EC=

DC2-DE2

=2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圆D与圆P外切，圆D半径为

1

2

，圆P半径为x，
∴DP=

1

2

+x，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（

1

2

+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

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20

；
当圆P与圆D内切时，如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根据勾股定理得：EC=

DC2-DE2

=2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圆D与圆P内切，圆D半径为

1

2

，圆P半径为x，
∴DP=x-

1

2

，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（x-

1

2

）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

12

，
综上，当x=

31

20

或

31

12

时，圆D与圆P相切．
故答案为：

31

20

或

31

12

点评：此题考查了相切两圆的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，同时本题x的值有两解，注意不要漏解．