Question

（本题8分）如图，四边形中，，平分，交于.

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由.

Answer 1

证明：
（1）∵AB∥CD，即AE∥CD，
又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形. 2分
∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD，
又∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE，
∴四边形AECD是菱形；········· 4分
（2）证法一：∵E是AB中点，∴AE＝BE.
又∵AE＝CE，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC＝180°，
∴2∠BCE+2∠ACE＝180°，∴∠BCE+∠ACE＝90°.
即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形.
证法二：连DE，则DE⊥AC，且平分AC，
设DE交AC于F，∵E是AB的中点，∴EF∥BC.
∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形.······· 8分

略