Question

【题目】（问题探究）

(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；

(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；

（问题解决）

(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480)km．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．

解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。

理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，

∴∠BAD=30，

∵EF⊥AB，

∴EF=AE；

(2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。

∵△ABC是边长为2的正△ABC，

∴CN=BCsin60=2×=

∴MN+CM=12AM+MC=

即AM+MC的最小值为

(3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30

作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。

在Rt△ABD中,AD=(km)

在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30,得MD=BDtan30=(km)，

所以AM=(480)km．