Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，BC+CD=10．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）若∠ADC=60°，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析：（1）将BC+CD=10进行平方运算，然后根据等腰直角三角形的面积=

(斜边)2

4

结合四边形ABCD的面积表达式即可得出答案．
（2）延长DC、AB相交于点E，进而根据题意可得出答案．

解答：解：（1）连接BD，
则S_ABCD=S_ABD+S_BCD=

1

2

BC•CD+

1

2

AB×AD=

1

2

BC•CD+

1

2

AB²=

1

2

BC•CD+

1

4

BD²
∵BC+CD=10，
∴BC²+CD²+2BC×CD=100，
∴4S_BCD+4S_ABD=100，
∴S_BCD+S_ABD=25=S_ABCD；

（2）如图所示，
则∠E=30°，∠EBC=60°
设BC=x，则EC=

3

x，BE=2x，AD=

DE

2

=

10-x+ 3 x

2

，
∴AE=

3

AD=BE+BA=2x+

10-x+ 3 x

2

=

3

（

10-x+ 3 x

2

）
解得：x=5-

5 3

3

，
∴周长为2（

10-x+ 3 x

2

）+10=

20 3

3

+10．

点评：本题考查了面积及等积变换，综合性较强，难度较大，通过本题要掌握等腰直角三角形的面积的一种表示方法，即

(斜边)2

4

．