Question

已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d．
（1）用含有p的式子表示q．
（2）求d²与p的关系式．
（3）当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线过（-1，-1），代入抛物线解析式即可得到结果；
（2）令抛物线解析式中y=0得到关于x的方程，设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，列出d²与p的关系式即可；
（3）利用二次函数的性质即可求出d²的最小值，以及此时p的值．

解答：解：（1）将x=-1，y=-1代入抛物线解析式得：-1=1-p+q，
则q=p-2，

（2）抛物线y=x²+px+q，令y=0，得到x²+px+q=0，
设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
∵线段AB的长为d=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-2x1x2

=

p2-2q

，
∴d²=p²-2q=p²-2p+4=（p-1）²+3；

（3）当p=1时，d²取得最小值，最小值为3．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的最值，涉及的知识有：根与系数的关系，完全平方公式的运用，以及二次函数的性质，弄清题意是解本题的关键．