Question

抛物线y=ax²+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设抛物线y=ax²+bx+3的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移后抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的取值范围；
（3）如图2，将抛物线y=ax²+bx+3平移，平移后抛物线与x轴交于点E、F，与y轴交于点N，当E（﹣1，0）、F（5，0）时，在抛物线上是否存在点G，使△GFN中FN边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线解析式y=ax²+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3．
（2）由（1）配方得y=（x+2）²﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为M（﹣2，﹣1），
∴直线OD的解析式为y=x，
于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），
∴平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣h）²+h，
当抛物线经过点C时，
∴C（0，9），
∴h²+h=9．
解得h=，
∴当≤h≤时，
平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组，得x²+（﹣2h+2）x+h²+h﹣9=0，
∴△=（﹣2h+2）²﹣4（h²+h﹣9）=0，解得h=4，
此时抛物线y=（x﹣4）²+2与直线CD唯一的公共点为（3，3），点（3，3）在射线CD上，符合题意．
∴平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是或h=4．
（3）平移后，当E（﹣1，0）、F（5，0）时，
抛物线的解析式为：y=（x+1）（x﹣5），
即y=x²﹣4x﹣5．
当x=0时，y=﹣5．
∴N（0，﹣5）．
∴OF=ON=5，假设存在点G，使△GFN中FN边上的高为7，
∴G点应在与直线FN平行，且相距7的两条平行线l₁（如图所示）和l₂（在直线FN下方且平行于直线FN）上．由平行的性质可以知道l₁和l₂与y轴的交点到直线FN的距离也为7，如图，设l₁与y轴交于点P，过点P作PQ⊥FN，垂足为Q，
∵OF=ON，
∴∠ONF=OFN=45°．
在Rt△PQN中，PQ=7，∠PNQ=∠ONF=45°，
由勾股定理，得PN=PQ=14．
∴直线l₁与y轴的交点坐标为P（0，9）．
同理可得：直线l₂与y轴的交点坐标为R（0，﹣19）．
∵OF=ON=5，
∴F（5，0），N（0，﹣5），
∴容易求得直线FN的解析式为：y=x﹣5．
∴直线l₁、l₂的解析式分别为l₁：y=x+9；l₂：y=x﹣19．
根据题意，列方程组：①，，
由①，得x²﹣5x﹣14=0，
解得x₁=7，x₂=﹣2
∴，．
∴G₁（7，16），G₂（﹣2，7）．
由②，得x²﹣5x+14=0．
∵△=（﹣5）²﹣4×1×14＜0，此方程无实数根．
∴在抛物线上存在点G，使△GFN中FN边上的高为7．
点G的坐标为：G₁（7，16），G₂（﹣2，7）．