Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，BC=2，∠A=90°．（如图1）
（1）试求∠C的度数；
（2）若E、F分别为边AD、CD上的两个动点（不与端点A、D、C重合），且始终保持∠EBF=45°，BD与EF交于点P．（如图2）
①求证：△BDE∽△BCF；
②试判断△BEF的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；
③设AE=x，DP=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析：（1）要求∠C的度数，只需要将直角梯形转化为矩形和一个直角三角形就可以解决；
（2）①根据两角对应相等的两三角形相似很容易得出结论．
②是一个结论猜想试题，根据条件易得出△BEF∽△BDC，从而得出△BEF为等腰直角三角形．
③要求函数的解析式需要多次利用三角形相似转化AE与DP的关系，从而将y用含x的代数式代换出来．

解答：解：（1）作DE⊥BC，垂足为E，
在四边形ABHD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠A=90°，
则四边形ABHD为正方形，
又在△CDH中，∠DHC=90°，DH=AB=1，CH=BC-BH=1，
∴∠C=

180°-∠DHC

2

=45°．

（2）①∵四边形ABHD为正方形，
∴∠CBD=45°，∠ADB=45°，
又∵∠EBF=45°，
∴∠DBE=∠CBF
又∵∠BDE=∠C=45°，
∴△BDE∽△BCF．

②△BEF是等腰直角三角形，
∵△BDE∽△BCF，
∴

BE

BD

=

FB

CB

，
又∵∠EBF=∠DBC=45°，
∴△EBF∽△DBC，
又在△DBC中，∠DBC=∠C=45°，为等腰直角三角形，
∴△BEF是等腰直角三角形．
③延长EF交BC的延长线于点Q，

易知BD=CD=

2

，
∵△BDE∽△BCF，
∴

DE

CF

=

DB

CB

=

1

2

，
则DE=1-x，CF=

2

-

2

x，
∴DF=CD-CF=

2

x，
又∵

CQ

DE

=

CF

DF

=

1-x

x

，
∴CQ=

1-2x+x2

x

，
∵

DP

BP

=

DE

BQ

=

x-x2

1+x2

，
∴

y

2 -y

=

x-x2

1+x

y=

2 x- 2 x2

1+x

，（0＜x＜1）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，矩形的性质，直角梯形的性质及辅助线的作法，还渗透了函数的解析式．难度大综合性强．