题目内容
在矩形ABCD中，E是BC边上的动点（点E不与端点B、C重合），以AE为边，在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，连接AC、FC，并过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H．（1）如图1，当AB=BC时；
①求证：矩形AEFG是正方形；
②猜想AC、FC的位置关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，当AB≠BC时，上面的猜想还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
【答案】分析：（1）①由已知条件可先判定四边形AEFG为矩形，再根据邻边相等（AB=BC）的矩形为正方形即可判定四边形AEFG为正方形；
②由①可知AE=EF，∠AEF=90°，再由已知条件判定△AEB≌△EFH，进而证明∠ACF=90°，即AC⊥FC；
（2）当AB≠BC时，AC⊥FC仍然成立，首先判定△AEB∽△EFH，再判定△CHF∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应角相等即可证明AC⊥FC．
解答：解：（1）①证明：当AB=BC时，矩形ABCD是正方形．
∴AB=AD时，∠ABE=∠ADG=90°．
∵∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE≌△ADG． 已知条件
∴AE=AG．
∴矩形AEFG是正方形．
②猜想：AC⊥FC．
证明：∵矩形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°．
又∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠FEH．
∵∠ABE=∠EHF=90°，
∴△AEB≌△EFH．
∴BE=HF，AB=EH．
∴BC=EH，∴BE=CH，
∴HF=CH．∴∠FCH=45°．
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°．
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥FC．
（2）当AB≠BC时，AC⊥FC仍然成立．
证明：由（1）可知：∠EAB=∠FEH，∠ABE=∠EHF，
∴△AEB∽△EFH，
∴
=
．
易证△AGD≌△EFH．
∴AD=EH，DG=HF．
∵AD=BC，
∴BC=EH，
∴BE=CH．
∴
=
，
即
=
．
∵∠CHF=∠ABC=90°，
∴△CHF∽△ABC，
∴∠HCF=∠BAC．
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠HCF+∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥FC．
点评：本题考查了矩形的判定方法、正方形的判定方法以及相似三角形的判定和相似三角形的性质，题目综合性很强，难度不小．
②由①可知AE=EF，∠AEF=90°，再由已知条件判定△AEB≌△EFH，进而证明∠ACF=90°，即AC⊥FC；
（2）当AB≠BC时，AC⊥FC仍然成立，首先判定△AEB∽△EFH，再判定△CHF∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应角相等即可证明AC⊥FC．
解答：解：（1）①证明：当AB=BC时，矩形ABCD是正方形．
∴AB=AD时，∠ABE=∠ADG=90°．
∵∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE≌△ADG． 已知条件
∴AE=AG．
∴矩形AEFG是正方形．
②猜想：AC⊥FC．
证明：∵矩形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°．
又∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠FEH．
∵∠ABE=∠EHF=90°，
∴△AEB≌△EFH．
∴BE=HF，AB=EH．
∴BC=EH，∴BE=CH，
∴HF=CH．∴∠FCH=45°．
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°．
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥FC．
（2）当AB≠BC时，AC⊥FC仍然成立．
证明：由（1）可知：∠EAB=∠FEH，∠ABE=∠EHF，
∴△AEB∽△EFH，
∴
=．易证△AGD≌△EFH．
∴AD=EH，DG=HF．
∵AD=BC，
∴BC=EH，
∴BE=CH．
∴
=，即
=．∵∠CHF=∠ABC=90°，
∴△CHF∽△ABC，
∴∠HCF=∠BAC．
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠HCF+∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥FC．
点评：本题考查了矩形的判定方法、正方形的判定方法以及相似三角形的判定和相似三角形的性质，题目综合性很强，难度不小．
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