Question

已知二次函数y=ax²-2ax+b（a≠0）的图象与x轴分别交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，直线y=-x+b经过点B、C，且B点坐标为（3，0）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以点P、B、C、A为顶点的四边形是梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把B（3，0）代入y=-x+b得一次函数关系式，从而求出C点坐标，把B（3，0），C（0，3）代入抛物线解析式可确定解析式；（2）依题意可求直线AC，BC的解析式，画图分析，梯形的平行边只可能是：AP∥BC、BP∥AC，利用平行直线的解析式的关系设直线解析式，分别把已知点代入可求直线AP、BP的解析式，分别令x=0，可求P点坐标．

解答：解：（1）把B（3，0）代入y=-x+b，
∴b=3，
∴C点坐标为（0，3），
把B（3，0）代入y=ax²-2ax+3，
∴a=-1，（1分）
∴二次函数解析式为y=-x²+2x+3．（2分）

（2）当AP₁∥CB时，直线过点A（-1，0），
设AP₁所在直线解析式为y=-x+b，
把点A代入b=-1，
∴P₁点坐标是（0，-1）．（3分）
当P₂B∥AC时，设AC所在直线为y=kx+b，
把点A（-1，0），C（0，3）代入得

k=3 b=3

，
∴AC所在直线为y=3x+3，
又∵P₂B过点B（3，0），设P₂B所在直线为y=kx+b，
∴P₂B所在直线为y=3x-9，
∴P₂点坐标是（0，-9），（5分）
综上所述存在这样的点P使得以P、B、C、A为顶点的四边形是梯形，
点P的坐标是（0，-1），（0，-9）．（6分）

点评：本题考查了点的坐标求法及一次函数解析式，二次函数解析式确定的方法，同时根据梯形性质探求梯形第四个顶点坐标，需要注意的是平行直线的解析式一次项系数相同，常数项不同．