Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可证得△BDC是直角三角形；分OP=OC，PC=OC，OP=PC三种情况即可求得P的坐标；
（3）设点P为（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2，根据PQNM是菱形，则PQ=MN，即可求得PM的长，判断是否成立，从而确定；根据②的解法即可确定P的坐标．

解答：解：（1）B（-1，0）E（0，4）C（4，0）设解析式是y=ax²+bx+c，
可得

a-b+c=0 c=4 16a+4b+c=0

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，
∴y=-x²+3x+4；

（2）△BDC是直角三角形，
∵BD²=BO²+DO²=5，DC²=DO²+CO²=20，BC²=（BO+CO）²=25
∴BD²+DC²=BC²，
∴△BDC是直角三角形．
点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2），
设直线AD的解析式是y=kx+b，则

-2k+b=0 b=2

，
解得：

k=1 b=2

，
则直线AD的解析式是y=x+2，
设点P坐标是（x，x+2）
当OP=OC时x²+（x+2）²=16，
解得：x=-1±

7

（x=-1-

7

不符合，舍去）此时点P（-1+

7

，1+

7

）
当PC=OC时（x+2）²+（4-x）²=16，方程无解；
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4）；
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（-1+

7

，1+

7

）或（2，4）；

（3）点M坐标是（

3

2

，

7

2

)，点N坐标是（

3

2

，

25

4

），∴MN=

11

4

，
设点P为（x，x+2），Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2
①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x₁=0.5，x₂=1.5
当x₂=1.5时，点P与点M重合；当x₁=0.5时，可求得PM=

2

，所以菱形不存在．
②能成为等腰梯形，作QH⊥MN于点H，作PJ⊥MN于点J，则NH=MJ，
则

25

4

-（-x²+3x+4）=x+2-

7

2

，
解得：x=2.5，
此时点P的坐标是（2.5，4.5）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，和菱形，等腰梯形的判定．