Question

在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的长分别是b，a，且cotB=AB•cosA．
（1）求证：b²=a；
（2）若b=2，抛物线y=m（x-b）²+a与直线y=x+4交于点M（x₁，y₁）和点N（x₂，y₂），且△MON的面积为6（O是坐标原点）．求m的值；
（3）若n2=

4a

b2

，p-q-3=0，抛物线y=n（x²+px+3q）与x轴的两个交点中，一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点是在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据锐角三角函数的定义把三角函数值化成对应边的比即可．
（2）根据（1）中所求a、b的值代入二次函数的解析式，解关于一次函数与二次函数的方程组，求出m的取值范围，过O作OD⊥MN于D，由直线的解析式求出直线与两坐标轴的交点，根据三角形的面积公式可求出MN的值，找出两交点横纵坐标之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出m的值．
（3）由（1）中所求a、b的值代入关系式，可求出n的值，再根据p、q的关系可把一个未知数当作已知表示出另一个未知数，代入二次函数的关系式，根据已知条件判断出未知数的符号，再根据n的值试判断抛物线与y轴的交点是在y轴的正半轴还是负半轴．

解答：证明：（1）∵cosB=

a

b

，cosA=

b

AB

，
∵cotB=AB•cotB=

a

b

，cosA=

b

AB

，
∵cotB=AB•cosA，∴

a

b

=AB•

b

AB

，
∴a=b²

（2）∵b=2且a=b²故a=4
∴y=m（x-2）²+4
由

y=m(x-2)2+4 y=x+4

，
得mx²-（4m+1）x+4m=0①
要使抛物线与直线有交点，则方程①中△＞0
得m＞-

1

8

过O作OD⊥MN于D，设E、F为直线y=x+4与坐标轴的交点，则E（-4，0），F（0，4）
∴DO=2

2

又∵S_△MON=

1

2

•OD•MN=6，
∴MN=

6

2

=3

2

过M、N分别作x轴、y轴的平行线交于点P
则|MP|=|x₂-x₁|，NP=|y₂-y₁|，
又∵y₂=x₂+4，y₁=x₁+4，即|NP|=|x₂-x₁|
故|MN|=

2

|x₂-x₁|，
∴|x₂-x₁|=3
即（x₂-x₁）₂=9
由方程①得

x1+x2= 4m+1 m x1x2=4

∴（

4m+1

m

）²-4×4=9
得m=1或m=-

1

9

；

（3）∵n²=

4a

b2

且b²=a
∴n²=4?n=±2
又p-q-3=0，
即p=q+3，即y=n[x²+（q+3）x+3q]=n（x+3）（x+q）
∵抛物线与x轴的两个交点中有一个在原点右侧，故q＜0
而抛物线与y轴交点为（0，3nq）
∴当n=2时，3nq＜0，交y轴于负半轴
当n=-2时，3nq＞0，交y轴于正半轴．

点评：此类题目很复杂，一般作为中考压轴题，解答此类题目的关键是熟知一次函数，二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程根与系数的关系及坐标系内各象限横纵坐标的特点，需同学们熟练掌握．