Question

【题目】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）概念理解

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.

（2）问题探究

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。

②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿

∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？

Answer 1

【答案】（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；

【解析】（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；（2）①正确，②2； ．

（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；

②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；

解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；

（2）①正确，理由为：

∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，

∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，

∴这个“等邻边四边形”是菱形；

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，

∴AC=，

∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，

（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；

（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；

（III）当A′C′=BC′=时，

如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′=∠ABC=45°，

∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，

∴B′D=B，

设B′D=BD=x，

则C′D=x+1，BB′=x，

∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2

∴x2+（x+1）2=（）2，

解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），

∴BB′=x=，

（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，

与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，

设B′D=BD=x，

则x2+（x+1）2=22，

解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），

∴BB′=x=；

“点睛”本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理等，理解新定义，分类讨论是解答此题的关键．