Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：；
（2）当时，求EF的长．

Answer 1

（1）见解析（2）5

解：（1）过D作DG⊥BC于G．
由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE="∠GDC" ．      ………………………3分
又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC ．
∴DE=DC，且AE=GC．     ……………………4分
在△EDF和△CDF中，
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，
∴△EDF≌△CDF．
∴EF="CF" ． ……………………………………………6分
（2）∵tan∠ADE==， ∴． ………………………………………9分
设，则，BE=6－2="4."
由勾股定理，得　．
解之，得　， 即． ……………………………12分
（1）作DG⊥BC，由已知可得，四边形ABGD为正方形，先证得△ADE≌△GDC，得到DE=DC，再有∠EDF=∠CDF，DF为公共边，可得△EDF≌△CDF，从而EF=CF．
（2）由=，可得，再由勾股定理即可求出EF的长。