题目内容

一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．

（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为，周长为．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为__．
（4）在图3情况下，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．

解：（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
∵M是AB的中点，
∴AM=2 $\text{[math]}$ ，
∵∠ACM=45°，
∴AM=MC，
∴重叠部分的面积是 $\text{[math]}$ =4，
∴周长为：AM+MC+AC=2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +4=4+4 $\text{[math]}$ ；
故答案为：4，4+4 $\text{[math]}$ ；

（2）∵叠部分是正方形，
∴边长为 $\text{[math]}$ ×4=2，面积为 $\text{[math]}$ ×4×4=4，
周长为2×4=8．
故答案为：4，8．

（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=4，
∴MH= $\text{[math]}$ BC，
ME= $\text{[math]}$ AC，
∴MH=ME，
又∵∠NMK=∠HME=90°，
∴∠NMH+∠HMK=90°，∠EMG+∠HMK=90°，
∴∠HMD=∠EMG，
在△MHD和△MEG中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△MHD≌△MEG（ASA），
∴阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，
∵正方形CEMH的面积是ME•MH= $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ ×4=4；
∴阴影部分的面积是4；
故答案为：4．

（4）如图所示：
过点M作ME⊥BC于点E，MH⊥AC于点H，
∴四边形MECH是矩形，
∴MH=CE，
∵∠A=45°，
∴∠AMH=45°，
∴AH=MH，
∴AH=CE，
在Rt△DHM和Rt△GEM中， $\text{[math]}$ ，
∴Rt△DHM≌Rt△GEM．
∴GE=DH，
∴AH-DH=CE-GE，

∴CG=AD，
∵AD=1，
∴DH=1．
∴DM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴四边形DMGC的周长为：
CE+CD+DM+ME
=AD+CD+2DM=4+2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据AC=BC=4，∠ACB=90°，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出AM=MC，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长；
（2）易得重叠部分是正方形，边长为 $\text{[math]}$ AC，面积为 $\text{[math]}$ AC²，周长为2AC．
（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E．求得Rt△MHD≌Rt△MEG，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积．
（4）先过点M作ME⊥BC于点E，MH⊥AC于点H，根据∠DMH=∠EMH，MH=ME，得出Rt△DHM≌Rt△EMG，从而得出HD=GE，CE=AD，最后根据AD和DF的值，算出DM= $\text{[math]}$ ，即可得出答案．
点评：此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．