Question

如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，已知△ABC的边长为a，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：圆的面积减去三角形的面积就得到阴影部分的面积．

解答：解：连接AO并延长与BC交于D，连接BO．（1分）
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD⊥BC，且BD=DC，
∴AD平分∠BAC．
同理BO平分∠ABC，（2分）
∴AD=AB×sin60°=

3

2

a，（3分）
BO=

BD

cos∠OBD

=

a

2•cos30°

=

1

3

a，（4分）
∴S△ABC=

1

2

AD×BC=

1

2

×

3

2

a•a=

3

4

a2，（5分）
S⊙o=π•BO2=

1

3

a2π，（6分）
∴阴影部分的面积为：S=S⊙o-S△ABC=

1

3

a2π-

3

4

a2．（8分）

点评：正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．