Question

下图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=

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4

S_△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y=0求得图象与x轴的交点坐标；
（2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；
（3）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．

解答：解：（1）因为M（1，-4）是二次函数y=（x+m）²+k的顶点坐标，
所以y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
令x²-2x-3=0，
解之得x₁=-1，x₂=3．
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；（4分）

（2）在二次函数的图象上存在点P，使S△PAB=

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4

S△MAB，
设P（x，y），
则S△PAB=

1

2

|AB|×|y|=2|y|，
又∵S△MAB=

1

2

|AB|×|-4|=8，
∴2|y|=

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×8，即y=±5．
∵二次函数的最小值为-4，
∴y=5．
当y=5时，x=-2或x=4．
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）；

（3）如图，当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+b=0，可得b=1，又因为b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=-3，
由图可知符合题意的b的取值范围为-3＜b＜1时，直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点．

点评：本题考查了由函数图象确定坐标，以及给出面积关系求点的坐标和直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．