Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P关于x轴的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．

Answer 1

【答案】（1）（2，-1）（2）P（，）．（3）．

【解析】

（1）用待定系数法即可求得抛物线的表达式，利用顶点公式即可求得抛物线的顶点坐标；

（2）过点P作PN⊥x轴，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，由点B、C的坐标得为等腰直角三角形，利用等量代换证得∠OCA=∠PCM，利用这对角的正切函数得到MC=3PM，设PM=a，则MC=3a，PN=3-a，得P（3a，3-a）代入抛物线的表达式，即可求得答案；

（3）设D的坐标为（2，），过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ的延长线于点F，利用∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，证得∠EOD=∠QDF，再根据其正切函数列出等式即可求得答案.

（1）∵A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2，∴点B的坐标为（3，0）

将A（1，0）、B（3，0）代入，得

解得：

所以，．

当x=2时，

∴顶点坐标为（2，-1） ．

（2）过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M．

∵∠CON=90°，∴四边形CONM为矩形．

∴∠CMN=90°，CO= MN．

∵，∴点C的坐标为（0，3）

∵B（3，0），

∴OB=OC．

∵∠COB=90°，

∴∠OCB=∠BCM = 45°，

又∵∠ACB=∠PCB，

∴∠OCB-∠ACB =∠BCM -∠PCB，即∠OCA=∠PCM．

∴tan∠OCA= tan∠PCM．

∴．

设PM=a，则MC=3a，PN=3-a．

∴P（3a，3-a）．

将P（3a，3-a）代入，得

．

解得，（舍）．∴P（，）．

（3）设抛物线平移的距离为m．得，

∴D的坐标为（2，）．

过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ的延长线于点F．

∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，

∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°，

∴∠EOD=∠QDF，

∴tan∠EOD = tan∠QDF．

∴．

∴．

解得．

所以，抛物线平移的距离为．