Question

（2012•南湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=2，
OB=4，P为线段AB的中点，反比例函数y=

k

x

的图象经过P点，Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点，经过点Q的直线交x轴于点C，交y轴于点D，且QC=QD．下列结论：①k=2；②S_△COD=4；③OP=OQ；④AD∥CB．其中正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根据点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=2，OB=4，可得A点坐标（2，0）B点坐标（0，4），再根据P为线段AB的中点，可得P点坐标（1，2），根据反比例函数y=

k

x

的图象经过P点，利用待定系数法可得K=2；
②根据Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点，设Q点（a，

2

a

），经过点Q的直线交x轴于点C，交y轴于点D，且QC=QD，Q为CD的中点可得C、D点坐标，再根据三角形面积公式，可得S_△COD=

1

2

×2a×

4

a

=4；
③根据OP=OQ可得Q（2，1），即当点Q的坐标是（2，1）时，该结论才成立；
④根据两直线中K相等B不相等两直线平行，即k_ad=-

2

a

；k_cb=-

2

a

，kad=k cb，可得AD∥CB．

解答：解：①∵在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=2，OB=4，
∴A点坐标（2，0）B点坐标（0，4），
∵P为线段AB的中点，
∴P点坐标（1，2），
∵反比例函数y=

k

x

的图象经过P点，
∴2=

k

1

，∴K=2，原说法正确，故①符合题意；
②由Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点，设Q点（a，

2

a

），
∵经过点Q的直线交x轴于点C，交y轴于点D，且QC=QD，Q是CD的中点，
∴C（2a，0）D（0，

4

a

）
S_△COD⁼

1

2

×2a×

4

a

=4，原说法正确，故②符合题意；
③设Q点为（a，

2

a

），
由OP=OQ即

(0-1)2+(0-2)2

=

(0-a)2+(0- 2 a )2

，
解得a=±2或a=±1，
即Q（2，1），（-2，-1），（1，2），（-1，-2）
∵反比例函数y=

k

x

的图象位于第一象限，
∴Q（-2，-1），（-1，-2）不在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∵点Q异于点P（1，2），存在Q点（2，1）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴只有当点Q的坐标是（2，1）时，OP=PQ才成立，故③不符合题意；
④∵k_ad=-

2

a

；k_cb=-

2

a

，kad=k cb，
∴AD∥CB，原说法正确，故④符合题意．
故应该选：C．

点评：本题考查了反比例函数图象上的点满足解析式，以解析式为坐标的点在反比例函数的图象上，待定系数法求解析式，直线解析式中k相等b不相等时，两直线平行．要注意认真分析每一结论，得出正确答案．