题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系中，矩形
的对角线
，
．
(1)求点
的坐标；
(2)把矩形沿直线
对折，使点
落在点
处，折痕分别与
、
、
相交于点
、
、
，求直线的解析式；
(3)若点
在直线上，平面内是否存在点
，使以
、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）存在符合条件的点
共有4个，分别为 
【解析】
（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则B的坐标即可得到；
（2）分别求出D点和E点坐标，即可求得DE的解析式；
（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N的坐标．
（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=
，
∴设OA=
x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，
即9x2+3x2=576，
解得：x=4．
则C的坐标是：（12，0），B的坐标是（
）；
（2）由折叠可知
，
∵四边形
是矩形，
∴
∥
，
∴
，
∴
=
，
∴
设直线
的解析式为
，则
，
解得
；
∴
.
（3）∵OF为Rt△AOC斜边上的中线，
∴OF=
AC=12，
∵ ，
∴tan∠EDC=
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
∴∠NOC=60°或120°．
当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，
∴NG=ONsin30°=12×=6，OG=ONcos30°=12×
=6，
此时N的坐标是（6，6）；
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-6，-6）；
当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称，
∵F的坐标是（6，6），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=OF=6，ON=
．
作NL⊥y轴于点L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
∴NL=ON=
，OL=ONcos30°=
×=6．
此时N的坐标是（/span>，6）．
当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，
此时点N的坐标为：（6，-6）．
则N的坐标是：（6，-6）或（6，6）或（-6，-6）或（2，6）．
