Question

如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD=

3

，∠ACB=30°．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）分别求AB，OE的长．

Answer 1

分析：（1）根据AB是直径即可求得∠ADB，再根据题意可求出OD⊥DE，即得出结论；
（2）根据三角函数的定义，即可求得AB，再在Rt△CDE中，根据直角三角形的性质，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可．

解答：（1）证明：连接BD，OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
∴OD∥BC
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．（4分）

（2）解：在Rt△CBD中CD=

3

，∠ACB=30°，
∴BC=

CD

cos30°

=

3

3 2

=2，
∴AB=2．
在Rt△CDE中，CD=

3

，∠ACB=30°，
∴DE=

1

2

CD=

1

2

×

3

=

3

2

．
在Rt△ODE中，OE=

OD2+DE2

=

7

2

．

点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形，是一道综合题，难度不大．