Question

如图，在△ABC、△DEF中，AM、DN分别是两三角形中线，AB=DE，AC=DF，AM=DN．求证：△ABC≌DEF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定

专题：证明题

分析：延长AM至A′，使A′M=AM，延长DN至D′，使D′N=DN，连接A′C、D′F，利用“边角边”证明△ABM和△A′CM全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=A′C，同理可得DE=D′F，从而得到A′C=D′F，再利用“边边边”证明△AA′C和△DD′F全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A′=∠D′，然后利用“边角边”证明△A′MC和△D′NF全等，根据全等三角形对应边相等可得MC=NF，再求出BC=EF，然后利用“边边边”证明△ABC≌DEF即可．

解答：证明：如图，延长AM至A′，使A′M=AM，延长DN至D′，使D′N=DN，连接A′C、D′F，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM=MC，
在△ABM和△A′CM中，

BM=MC ∠AMB=∠A′MC AM=A′M

，
∴△ABM≌△A′CM（SAS），
∴AB=A′C，
同理可得DE=D′F，
∵AB=DE，
∴A′C=D′F，
∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN，
∴AA′=DD′，
在△AA′C和△DD′F中，

AC=DF AA′=DD′ A′C=D′F

，
∴△AA′C≌△DD′F（SSS），
∴∠A′=∠D′，
在△A′MC和△D′NF中，

A′M=D′N ∠A′=∠D′ A′C=D′F

，
∴△A′MC≌△D′NF（SAS），
∴MC=NF，
∵AM、DN分别是两三角形中线，
∴BC=2MC，EF=2NF，
∴BC=EF，
在△ABC和DEF中，

AB=DE AC=DF BC=EF

，
∴△ABC≌DEF（SSS）．

点评：本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，“遇中线，加倍延”作辅助线构造成全等三角形是解题的关键，难点在于需要多次证明三角形全等．