Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，F是边BC上一点（点F与点B、点C均不重合），AE⊥AF，AE交CD的延长线于点E，连接EF交AD于点G．

（1）求证：BFFC＝DGEC；

（2）设正方形ABCD的边长为1，是否存在这样的点F，使得AF＝FG．若存在，求出这时BF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，

【解析】

（1）由正方形的性质，可得AB＝AD，再根据已知和同角的余角相等得出可得出∠BAF＝∠EAD，从而证明出△BAF≌△EAD，则BF＝DE．再根据AD∥BC，推出，化为乘积式即可；

（2）设BF＝x，则FC＝1﹣x，EC＝1+x，由AF＝FG，则∠FAG＝∠FGA，再根据AD∥BC，推出△ABF∽△ECF．则，即．从而可求出x，舍去负根，从而求出BF的长．

（1）∵正方形ABCD，

∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAD＝90°

又∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°

∴∠BAD＝∠EAF，即∠BAF+∠FAD＝∠EAD+∠DAF

∴∠BAF＝∠EAD

∴△BAF≌△EAD，

∴BF＝DE．

∵AD∥BC，

∴△EDG∽△ECF

∴．

∴．

∴BFFC＝DGEC．

（2）存在，

设BF＝x，则FC＝1﹣x，EC＝1+x，

若AF＝FG，则∠FAG＝∠FGA

∵AD∥BC，∴∠BFA＝∠FAG，∠CFE＝∠FGA

∴∠BFA＝∠CFE，

又∠ABF＝∠ECF＝90°

∴△ABF∽△ECF．

∴，即：．

∴x2+2x﹣1＝0．

解得：．（负根舍去）

∴BF=