Question

已知二次函数y＝x²－mx＋m－2．

(1)求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；

(2)当该二次函数的图象经过点(3，6)时，求二次函数的解析式；

(3)将直线y＝x向下平移2个单位长度后与(2)中的抛物线交于A、B两点(点A在点B的左边)，一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：令y＝0，则． 　　∵△＝　　1分 　　又∵，∴．即△＞0． 　　∴无论m为任何实数，一元二次方程总有两不等实根． 　　∴该二次函数图象与x轴都有两个交点　　2分 　　(2)解：∵二次函数的图象经过点(3，6)， 　　∴．解得． 　　∴二次函数的解析式为　　3分 　　(3)解：将向下平移2个单位长度后得到解析式为：　　4分 　　解方程组　得　 　　∴直线与抛物线的交点为 　　∴点A关于对称轴的对称点是，点B关于x轴的对称点是． 　　设过点、的直线解析式为． 　　∴　解得 　　∴直线的解析式为． 　　∴直线与x轴的交点为　　5分 　　与直线的交点为　　6分 　　则点、为所求． 　　过点做，∴，． 　　在Rt△中，． 　　∴所求最短总路径的长为　　7分