Question

【题目】如图，已知直线经过点，交x轴于点A，y轴于点B，F为线段AB的中点，动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动，连接FC，过点F作直线FC的垂线交x轴于点D，设点C的运动时间为t秒．

当时，求证：；

连接CD，若的面积为S，求出S与t的函数关系式；

在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）连接OF，根据“直线经过点”可得k=1，进而求出A（﹣4,0），B（0,4），得出△AOB是等腰直角三角形，得出∠CBF=45°，得出OF= AB=BF，OF⊥AB，得出∠OFD=∠BFC，证得△BCF≌△ODF，即可得出结论

（2）①根据全等三角形的性质可得出0＜t＜4时，BC=OD=t﹣4，再根据勾股定理得出CD2=2t2-8t+16，证得△FDC是等腰直角三角形，得出，即可得出结果；

②同理当t≥4时，得出BC＝OD＝t﹣4，由勾股定理得出CD2＝OD2+OC2＝2t2﹣8t+16，证出△FDC是等腰直角三角形，得出FC2CD2，即可得出结果；

（3）由待定系数法求出直线CF的解析式，当y＝0时，可得出G,因此OG，求出即可．

证明：连接OF，如图1所示：

直线经过点，

，解得：，

直线，

当时，；当时，；

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

为线段AB的中点，

，，，

，

，

，

，

在和中，，

≌，

；

解：当时，连接OF，如图2所示：

由题意得：，，

由得：≌，

，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

的面积；

当时，连接OF，如图3所示：

由题意得：，，

由得：≌，

，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

的面积；

综上所述，S与t的函数关系式为；

解：为定值；理由如下：

当时，如图4所示：

当设直线CF的解析式为，

，，F为线段AB的中点，

，

把点代入得：，

解得：，

直线CF的解析式为，

当时，，

，

，

；

当时，如图5所示：

同得：；

综上所述，为定值．