Question

（2013•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是

AC

的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；
（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．

解答：解：（1）CD与圆O相切．理由如下：
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
则CD与圆O相切；

（2）连接EB，交OC于F，
∵AB为直径，得到∠AEB=90°，
∴EB∥CD，F为EB的中点，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF=

1

2

AE=

1

2

，即CF=DE=

1

2

，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=

3

2

，
则S_阴影=S_△DEC=

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3

8

．

点评：此题考查了切线的判定，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．