题目内容
(2013•绵阳)如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线y=
(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.
(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;
(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.
k | x |
(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;
(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.
分析:(1)根据点E是AB中点,可求出点E的坐标,将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值,再由点F的横坐标为4,可求出点F的纵坐标,继而得出答案;
(2)证明∠GED=∠CDF,然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF,设点E坐标为(
,2),点F坐标为(4,
),即可得CF=
,BF=DF=2-
,在Rt△CDF中表示出CD,利用对应边成比例可求出k的值.
(2)证明∠GED=∠CDF,然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF,设点E坐标为(
k |
2 |
k |
4 |
k |
4 |
k |
4 |
解答:解:(1)∵点E是AB的中点,OA=2,AB=4,
∴点E的坐标为(2,2),
将点E的坐标代入y=
,可得k=4,
即反比例函数解析式为:y=
,
∵点F的横坐标为4,
∴点F的纵坐标=
=1,
故点F的坐标为(4,1);
(2)由折叠的性质可得:BE=DE,BF=DF,∠B=∠EDF=90°,
∵∠CDF+∠EDG=90°,∠GED+∠EDG=90°,
∴∠CDF=∠GED,
又∵∠EGD=∠DCF=90°,
∴△EGD∽△DCF,
结合图形可设点E坐标为(
,2),点F坐标为(4,
),
则CF=
,BF=DF=2-
,ED=BE=AB-AE=4-
,
在Rt△CDF中,CD=
=
=
,
∵
=
,即
=
,
∴
=1,
解得:k=3.
∴点E的坐标为(2,2),
将点E的坐标代入y=
k |
x |
即反比例函数解析式为:y=
4 |
x |
∵点F的横坐标为4,
∴点F的纵坐标=
4 |
4 |
故点F的坐标为(4,1);
(2)由折叠的性质可得:BE=DE,BF=DF,∠B=∠EDF=90°,
∵∠CDF+∠EDG=90°,∠GED+∠EDG=90°,
∴∠CDF=∠GED,
又∵∠EGD=∠DCF=90°,
∴△EGD∽△DCF,
结合图形可设点E坐标为(
k |
2 |
k |
4 |
则CF=
k |
4 |
k |
4 |
k |
2 |
在Rt△CDF中,CD=
DF2-CF2 |
(2-
|
4-k |
∵
CD |
GE |
DF |
ED |
| ||
2 |
2-
| ||
4-
|
∴
4-k |
解得:k=3.
点评:本题考查了反比例函数的综合,解答本题的关键是利用点E的纵坐标,点F的横坐标,用含k的式子表示出其他各点的坐标,注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质,难度较大.
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