题目内容

观察下列各式：
①
1+
1
3
=2
1
3
，
②
2+
1
4
=3
1
4
，
③
3+
1
5
=4
1
5
，…．
（1）请你结合上述三个等式的特征，写出第④个等式：
5
1
6
5
1
6

（2）你发现什么规律了吗？请用含n（n≥1的自然数）的等式把你所发现的规律表示出来，并请你验证所发现的规律．
分析：（1）根据整数部分，分数部分的分子为1，分母与整数的关系写出即可．
（2）根据规律被开方数是连续的自然数，分数的分子是1分母比整数大2，结果为根号外是比被开方数整数部分大1的数，根号内的分数不变，然后写出即可．
解答：解：（1）第④个等式为：
4+
1
6
=5
1
6
；
故答案为：5
1
6
；

（2）
n+
1
n+2
=（n+1）
1
n+2
（n≥1的自然数）．
验证：
n+
1
n+2
=
n2+2n+1
n+2
=
(n+1)2
n+2
=（n+1）
1
n+2
．
点评：本题考查了二次根式的性质与化简，仔细观察题目信息，总结出变化规律是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时有式①：2×
2
3
=
2+
2
3
n=3时有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①验证：2×
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
猜想、探索规律
（1）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第100组应该有种子数．
 
粒；
（2）已知a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
，…，依据上述规律，则a99=
 
；
（3）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，那么第101个图案中由
 
个基础图形组成；
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（4）观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，根据观察计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
．
8、观察下列各式，1×3=22-1；3×5=42-1；5×7=62-1；7×9=82-1；…由此，想到此例包含的规律可以用下式（　　）表示．
24、观察下列各式：2×4=32-1，3×5=42-1，4×6=52-1，…，10×12=112-1，…，将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：
n（n+2）=（n+1）2-1
．
14、观察下列各式：
（1）1=12；（2）2+3+4=32；（3）3+4+5+6+7=52；（4）4+5+6+7+8+9+10=72； …
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（　　）

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