题目内容

猜想、探索规律
(1)某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验;第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第100组应该有种子数.
 
粒;
(2)已知a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
,…
,依据上述规律,则a99=
 

(3)下图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,…,那么第101个图案中由
 
个基础图形组成;
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(4)观察下列各式:
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
,…,根据观察计算:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
分析:(1)第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒…第n组取(2n-1)粒解决问题;
(2)所有第一个加数分子是1,分母是三个连续自然数的乘积,第二个加数分子是1,分母是三个连续自然数中间的数,和的分母是三个连续自℃然数两端数的乘积,分子是三个连续自然数中间的数,因此可求得a99
(3)第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,第3个图案由10个基础图形组成,…,第n个图案由(3n+1)个基础图形组成,由此解决问题;
(4)由
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
,…
1
n(n+1)
=
1
n
1
n+1
,代入可解决问题.
解答:解:(1)第1组3=2×1+1,
第2组5=2×2+1,
第3组7=2×3+1,

第n组有2n+1粒,
所以第100组应该有种子2×100+1=201粒.

(2)由a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
1×3
=
2
3

a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
2×4
=
3
8

a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
3×5
=
4
15


所以a99=
1
99×100×101
+
1
100
=
100
99×101
=
100
9999


(3)第1个图案由4=4×1-(1-1)=3+1个基础图形组成,
第2个图案由7=4×2-(2-1)=3×2+1个基础图形组成,
第3个图案由10=4×3-(3-1)=3×3+1个基础图形组成,
…,
那么第101个图案中由3×101+1=304个基础图形组成;

(4)把
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…代入得:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2008
-
1
2009

=1-
1
2009

=
2008
2009
点评:抓住式子的变化规律或数的变化规律,就可以解决问题.
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