Question

如图，抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过A（-2，0）、B（0，-2）两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）连接BC，求证：BC＞DC．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法将A（-2，0）、B（0，-2）两点代入解析式求出b，c，即可得出二次函数解析式；
（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标和对称轴即可；
（3）求出过A、B两点的直线解析式，得出D点纵坐标，以及BE的长，进而得出可得出CE的长利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过A（-2，0）、B（0，-2）两点，
∴

1-2b+c=0 c=-2

，
解得：

b=- 1 2 c=-2

．
∴此抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-

1

2

x-2；
                                        
（2）∵y=

1

4

x²-

1

2

x-2
=

1

4

（x²-2x）-2
=

1

4

[（x²-2x+1）-1]-2
=

1

4

（x-1）²-

9

4

，
∴此抛物线的对称轴l为：x=1，
顶点C的坐标为：（1，-

9

4

）；
                                                  
（3）证明：假设过A、B两点的直线解析式为：y=kx+a，

将A，B代入可得：

-2k+b=0 b=-2

解得：

k=-1 b=-2

，
∴直线解析式为：y=-x-2，
∴当x=1时，y=-3，
∴点D的纵坐标为-3，
∴CD=|-3|-|-

9

4

|=

3

4

．
作BE⊥l，于点E，则BE=1，CE=|-

9

4

|-|-2|=

1

4

，
由勾股定理得BC=

12+( 1 4 ) 2

=

17

4

，
∴BC＞DC．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及配方法求二次函数顶点坐标和勾股定理的应用，此题难度不大，比较线段大小时，利用勾股定理求出线段长是解决问题的关键．