题目内容

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=6cm，BC=13cm，点P沿BC从B向C以1cm/s的速度运动（不包含B、C两点），且∠APQ=∠B，射线PQ交CD（或CD的延长线）于点Q．设P点的运动时间为t．
（1）如图①，当PQ交CD于Q时，求证：△ABP∽△PCQ；
（2）如图②，当PQ交CD的延长线于Q时，设DQ=y，请求出y与t之间的函数关系式；
（3）请问当时间t等于多少时，以A、B、P为顶点的三角形与以Q、P、A为顶点的三角形相似？

解：（1）∵∠BAP+∠B=∠APQ+∠QPC，∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠QPC，
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ；

（2）由△ABP∽△PCQ，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
点P沿BC从B向C以1cm/s的速度运动，设P点的运动时间为t，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得y=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t-6；

（3）∵∠APQ=∠B，
∴若△ABP∽△QPA，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 两种情况．
∵△ABP∽△PCQ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t=6.5或t=4或t=9，
∴当t等于4或6.5或9时，以A、B、P为顶点的三角形与以Q、P、A为顶点的三角形相似．
分析：（1）根据∠BAP+∠B=∠APQ+∠QPC，∠APQ=∠B，利用等腰梯形的性质即可求证△ABP∽△PCQ
（2）利用△ABP∽△PCQ的对应边成比例，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得y即可．
（3）若△ABP∽△QPA，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 两种情况，再利用△ABP∽△PCQ的对应边成比例，解得t即可．
点评：此题主要涉及等腰梯形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，但要采用分类讨论的思想，并且涉及到动点型，因此此题有一定的拔高难度，属于难题．