Question

如图，抛物线y=-x²+4x-3与坐标轴交与A、B、C三点，点M在线段BC上，将线段OM绕O点逆时针旋转90゜，点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上，求N点的坐标．

Answer 1

分析：由y=-x²+4x-3=-（x-3）（x-1），可得抛物线和x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，C（0，-3），从而得到△OBC是等腰直角三角形，连结MN，BN．根据SAS证明△OCM≌△OBN，可得∠OCB=∠OBN=45°，∠NBC=90°，根据待定系数法可得直线BC解析式为：y=x-3，直线BN的解析式为y=-x+3，联立抛物线和直线BN解析式可得

y=-x+3 y=-x2+4x-3

，解方程组即可得到N坐标．

解答：解：∵y=-x²+4x-3=-（x-3）（x-1），
∴抛物线和x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，
当x=0时，y=-3，
∴抛物线与y轴交于C（0，-3），
对称轴为x=

-4

-2

=2，
顶点纵坐标y=-4+4×2-3=1，
顶点坐标D（2，1），
∴OC=OB，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
连结MN，BN．
则OM=ON，
∵∠COB=∠MOA=90°，
∴∠COB-∠MOB=∠MON-∠MOB，
∴∠COM=∠BON，
在△OCM与△OBN中，

OM=ON ∠COM=∠BON OC=OB

，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴∠OCB=∠OBN=45°，
∴∠NBC=90°，
由B（3，0），C（0，-3）可得直线BC解析式为：y=x-3，
设直线BN的解析式为y=-x+m，
由B（3，0），可得-3+m=0，解得m=3，
则直线BN的解析式为y=-x+3，
联立抛物线和直线解析式可得

y=-x+3 y=-x2+4x-3

，
解得

x=2 y=1

或

x=3 y=0

（不合题意，舍去）
∴N坐标为：N（2，1）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．