Question

已知关于x的一元二次方程x2-x+

1

4

m=0．
（1）m取什么值时，方程有两个实数根？
（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab-2b²+2b+1，求y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据△的意义得到当△≥0，方程有两个实数根，则1²-4×1×

1

4

m≥0，解不等式即可得到m的取值范围；
（2）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解和根与系数的关系得b²-b+

1

4

m=0，ab=

1

4

m，然后把b²-b=-

1

4

m，ab=

1

4

m整体代入y中，化简后得到y=

3

4

m+1，再根据（1）中m的取值范围即可得到y的取值范围．

解答：解：（1）∵△≥0，方程有两个实数根，
∴1²-4×1×

1

4

m≥0，解得m≤1，
∴当m≤1时，方程有两个实数根；
（2）∵方程的两个实数根为a、b，
∴b²-b+

1

4

m=0，ab=

1

4

m，
∴y=

1

4

m-2（b²-b）+1
=

1

4

m-2×（-

1

4

m）+1
=

3

4

m+1，
∵m≤1，
∴y≤

3

4

+1，
即y≤

7

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解和根与系数的关系．