Question

31、某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山（如图），设计时要测量隧道AB的长度，恰好在山的前面有一片空地，测量人员想借助于这个有利的地形，利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道长度，请你帮助测量人员设计测量方法，画出图形，并说明理由．（要求：至少两种方法）

Answer 1

分析：根据图形，通过作辅助线，结合全等三角形的相关知识解答．
设计一：首先过A作线段AD⊥AB于A，过D作DM⊥AD于D，然后取AD的中点C．连接BC并延长交DM于E，即DE为隧道的长．可通过证△ABC≌△DEC来验证方案的合理性．
设计二：构造8字形的全等三角形来测得隧道的长．方案不唯一．

解答：解：设计一，如图1，（1）过A作线段AD⊥AB；
（2）过D作DM⊥AD；
（3）取AD中点C，连接BC并延长交DM于E，则DE长就是隧道AB的长（2分）
理由：因为AD⊥AB，ED⊥AD，
所以∠A=∠D=90°，
又∵AC=CD，∠ACD=∠DCE．
所以△ABC≌△DEC，
所以AB=DE．（4分）
设计二，如图2，（1）过A作线段AD；
（2）取AD中点C，连接BC并延长，使EC=BC；
（3）连接DE，则DE就是隧道AB的长．（6分）
理由：因为AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，
所以△ACB≌△DCE，所以AB=DE．（8分）
设计三，图同图l，第（2）步改为：作DM∥AB，其他同设计一．
理由：因为DM∥AB，所以∠A=∠D．又∠ACB=∠DCE，AC=CD．
所以△ACB≌△DCE．所以AB=DE．（每个图2分）

点评：本题考查了三角形全等的应用：全等三角形的对应边相等，对应角相等．同时考查学生作图的能力．